Question

数学高考题。。

对于n∈N*，将n表示为
n=a0×2^k+a1×2^k-1+a2×2^k-2+……ak-1×2+ak×2^0。a0=1,当1≤i≤k时，ai记为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数，（例如1=1×2^0，4=1×2^2+0×2^1+0×2^0，故I（1）=0，I（4）=2）则：I（12）= 127∑ 2^I（n）= n=1

Answer 1

解：（1）根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I（12）=2；
（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，
设64≤n≤126，且n为整数；
则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×20，
a1，a2，a3，a4，a5，a6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C60种情况，即有C60个I（n）=5；
其中有一个为1时，有C60种情况，即有C60个I（n）=5；
其中有2个为1时，有C62种情况，即有C62个I（n）=4；
…
∑n=641272I（n）=C6026+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36，
同理可得： ∑n=32632I(n)=35，
…
∑n=232I(n)=31，
2I（1）=1；
则 ∑n=11272I(n)=1+3+32+…+36= 37-13-1=1093；

Answer 2

①其实是将10进制的数转化为2进制，用除2取余法。于是写成了12=1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0，
则 I(12)=2。
②127除2取余法得到的数为1111111(2)。
左边是10进制，右边是2进制：
1=1 2=10 3=11 4=100 5=101 6=110 7=111 8=1000
将以上数按照位数排(2进制)得到下图：
1
10 11
100 101 110 111
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
......................
由上图可知，每行第一个数为10...，横着看，每个数的第1位是1，以后每次1和0在后面出现，相当于用0和1 排1后面的空并乘以2^n这种形式。下面以第3行为例：相当于排 1 口 口。不含0的数有
C02(0是上标2是下标)个，即全部不选0，含1个0的数C12个，即从2个空中取1个排0，含2个0的有C22个数，即即从2个空中取2个排0。那么第3横行按题意要写出2^I(n)即C02X2^0+C12X2^1+C22X2^2，即第3行I(N)=0的数有C02个，即把C02个2^0相加，即C02X2^0。于是第三行按题意得数为C02X2^0+C12X2^1+C22X2^2=(1+2)^2=3^2。。每行都可以得到3^0，3^1，3^2……3^6，最后把它们相加，3^0+3^1+3^2+........3^6=(1-3^7)/(1-3)=1093。