Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为根号六/3,且过点(根号2,1)，过点C(-1,0)且斜率为k的直线l与椭圆相交

于不同的两点A,B.
1.求椭圆的方程
2.若线段AB的重点的横坐标为-1/2,求斜率k
3.在x轴上是否存在点M，使向量MA*向量MB+5/(3k^2+1)是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）解：由 e2=
a2-b2a2=1-
b2a2=
23，
得 ba=
13． ①…（2分）
由椭圆C经过点(
32，
12)，得94a2+
14b2=1． ②…（3分）
联立①②，解得 b=1，a=
3． …（4分）
所以椭圆C的方程是 x23+y2=1． …（5分）
（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得 （1+3k2）x2+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k2-36（1+3k2）＞0，得k2＞1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
12k1+3k2，x1x2=
91+3k2． …（9分）
所以 S△AOB=|S△POB-S△POA|=
12×2×|x1-x2|=|x1-x2|． …（10分）
因为 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-
12k1+3k2)2-
361+3k2=
36(k2-1)(1+3k2)2，
设 k2-1=t（t＞0），
则 (x1-x2)2=
36t(3t+4)2=
369t+
16t+24≤
362
9t×
16t+24=
34． …（13分）
当且仅当9t=
16t，即t=
43时等号成立，
此时△AOB面积取得最大值32．…（14分）