Question

数学分析曲线积分证明题：

Answer 1

利用 Stokes公式化为第一类曲面积分，被积函数是
f(x,y,z) = (əR/əy-əQ/əz) cosα + (əP/əz-əR/əx) cosβ + (əQ/əx-əP/əy) cosγ
其中 (cosα, cosβ , cosγ ) 是曲面S上点M(x,y,z)处的法方向余弦。
这是两个向量的点积，它的值 |f(x,y,z)| ≦ √(••••••)
即证。

追问

亲，能说的详细一点吗？

追答

f(x,y,z) = (əR/əy-əQ/əz) cosα + (əP/əz-əR/əx) cosβ + (əQ/əx-əP/əy) cosγ
= A • (cosα, cosβ , cosγ )
= |A| |(cosα, cosβ , cosγ ) | cosθ, 其中 θ是向量A 与 (cosα, cosβ , cosγ ) 的夹角
∴ |f(x,y,z)| ≤ |A| = { (əR/əy-əQ/əz) ² + (əP/əz-əR/əx) ² + (əQ/əx-əP/əy) ² } ^(1/2)
再利用第一类曲面积分的比较定理，
I ≤ ∫∫ max{|A|} dS ≤ A • max{ •••••• }