Question

已知,如图四,△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,且∠ABC=120°,求证:AB=2BC

Answer 1

证明：延长CB，作AE⊥CB，垂足为点E（该点在线段CB的延长线上）
∵AE⊥CB，DB⊥BC
∴AE//DB
∵BD是AC边上的中线，即点D是AC的中点
∴DB是△AEC边AE的中位线
∴点B是线段CE的中点，即EB=BC
∵∠ABC=120°，∠DBC=90°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120°-90°=30°
∵AE//DB
∴∠EAB=∠ABD=30° （两直线平行，内错角相等）
∴在Rt△AEB中，AB=2EB （直角三角形中30°角所对直角边是斜边长的一半）
∵EB=BC
∴AB=2BC

Answer 2

证明：过d点做bc平行线交ab与e
由题意可知，三角形ade相似于三角形abc
因为bd是ac中线，所以ad=dc.所以ab=2ae，e为ab中点，bc=2de
角abc为120度，bc平行于de，所以角ade为120度，角deb=60度
因为db垂直于bc，所以角dbc=90度，角abd=30度
所以角edb=90度，三角形edb为直角三角形。be=2de。
因为ab=2be，所以ab=4de
又因为bc=2de，所以ab=2bc
凑合看吧。