Question

已知f(x)=mx2-mx-6+m.若对于m属于【1,3】,f(x)〈0恒成立,求实数x的取值范围

Answer 1

f(x)=mx2-mx-6+m.对于m属于【1,3】,f(x)〈0恒成立
将函数式改写成关于m的函数
即g(m)=(x²-x+1)m-6
将x看成常量，m作为变量，
m的系数x²-x+1=(x-1/2)²+3/4>0恒成立
∴g(m)是一次函数，且为增函数
那么m∈[1,3]时，g(m)<0恒成立
需g(m)max=g(3)=3(x²-x+1)-6<0即可
∴x²-x-1<0
解得(1-√5)/2<x<(1+√5)/2
∴实数x的取值范围是((1-√5)/2,(1+√5)/2)

Answer 2

对于这类问题，可以反客为主，将m看成自变量。即f（m）＝（x2-x+1）m-6 就是关于m的一次函数，又因为当1≤m≤3时，f（x）＜0,所以f（1）＜0,f（3）＜0解得（1-√5）2＜x＜（1+√5）/2