Question

如图,已知在四边形ABFC中,角ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

Answer 1

已知，在四边形ABFC中角ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D交AB于点E，且CF＝AE，试探究并证明四边形BECF是什么特殊四边形？

解：（1）四边形BECF是菱形．

证明：EF垂直平分BC，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠1=∠2，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，

∴∠3=∠4，

∴EC=AE，

∴BE=AE，

∵CF=AE，

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠1=45°，

∴∠EBF=2∠A=90°，

∴菱形BECF是正方形

Answer 2

解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，
又∵∠ACB=90°，
∴EF∥AC，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
即BE=AE，
∵CF=AE，
∴CF=BE，
∴CF=FB=BE=CE，
∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，四边形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠EBF=2∠CBA=90°，
∴菱形BECF是正方形．
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