Question

求大神解题，要过程

用分析法证明，若a>0，b>0，求证：（a+b）（1/a+1/b）>=4

Answer 1

若要（a+b）（1/a+1/b）>=4
则需要1+a/b+b/a+1>=4，即a/b+b/a>=2
因为a和b都大于0，则a/b+b/a>=2倍的根号下a/b乘以b/a=2
所以得证

Answer 2

（a+b）（1/a+1/b）=1+a/b+b/a+1
a>0，b>0
a/b+b/a>=2
1+a/b+b/a+1>=4
（a+b）（1/a+1/b）>=4

Answer 3

（a+b）（1/a+1/b）=1+a/b+b/a+1
a>0，b>0
因为a^2+b^2>=2ab
所以a/b+b/a=（a^2+b^2)/ab>=2
得1+a/b+b/a+1>=4
所以证：（a+b）（1/a+1/b）>=4

Answer 4

(a-b)^2>=0，
a^2+b^2-2ab>=0
a^2+b^2+2ab>=4ab
(a+b)^2>=4ab
因为a>0，b>0，
所以(a+b)^2/(ab)>=4
(a+b)(a+b)/(ab)>=4
（a+b）（1/a+1/b）=(a+b)(a+b)/(ab)>=4

Answer 5

（a+b）(1/a+1/b)=2+(a/b+b/a)=2+(a^2+b^2)/ab=2+(〖(a-b)〗^2+2ab)/ab=4+〖(a-b)〗^2/ab
因为a>0,b>0,所以〖(a-b)〗^2/ab>0.得证

Answer 6

证明：要证（a+b）（1/a+1/b）>=4 成立，只需证（a+b）^2/ab>=4,
只需证（a+b）^2>=4ab，整理得a^2+b^2-2ab>=0
只需证（a-b）^2>=0， 该式明显成立，故（a+b）（1/a+1/b）>=4