Question

求解一道高数题~谢谢

函数f:[0,b]->R， 可导，对任意的 x 属于[0,b]，
求证：

Answer 1

这就是积分余烂岁大项的Taylor展开.
f(x)需要n阶连续可导, Tnf(x)是f(x)的n阶Taylor展开.
证明雀笑使用数学归纳法和分部积分公式.

对n = 1, f(x) = f(0)+∫{0,x} f'(t)dt, 这就是Newton-Leibniz公式.
假设n = k时结论成立.
即f(x) = T(k-1)f(x)+1/(k-1)!·∫{0,x} (x-t)^(k-1)·f^(k)(t)dt.
由分布积分公式:
∫{0,x} (x-t)^(k-1)·f^(k)(t)dt = x^k·f^(k)(0)/k+∫{0,x} (x-t)^k·f^(k+1)(t)/k dt.
代入得f(x) = T(k-1)f(x)+x^k·f^(k)(0)/k!+1/k!·∫{0,x} (x-t)^k·f^(k+1)(t)dt
= Tkf(x)+1/饥竖k!·∫{0,x} (x-t)^k·f^(k+1)(t)dt.
即n = k+1时结论成立.
于是结论对任意正整数n成立, 证毕.