Question

线性代数可逆求解~

设A、B、C、D均为n阶方阵，证明
（1）分块矩阵P=（A B)可逆的充分必要条件是A+B和A-B都可逆
(B A)
（2）若A、B都可逆，则分块矩阵H=（A D)可逆的充分必要条件是B-CA-1和A-1-DB-1C
(C B)
都可逆

Answer 1

(1)记Q1=
En En
0 En
对应的就是将下面的子块加入上面的子块
Q2=
En -En
0 En
对应的就是将左边的子块乘-1加入右边的子块
注意到Q1，Q2均可逆
那么P等价于Q1PQ2=
A+B 0
B A-B
故P可逆的充分必要条件是A+B和A-B都可逆

(2)方法类似，其实分块矩阵的的这类做法就是把子块看成元素来处理就好了，很简单的。

考虑了一下，第二题的结论错了，取A=B=C=E，但D=0
显然那H可逆，但B-CA^(-1)=E-E=0不可逆。

结论应为H可逆的充要条件是B-CA^(-1)D可逆

记Q1=
En 0
-CA^(-1) En
对应的就是将上边的子块乘-CA^(-1)加入下边的子块
显然Q1可逆，那么H等价于Q1H=
A D
0 B-CA^(-1)D
故H可逆的充要条件是B-CA^(-1)D可逆。