Question

如图,设球O的半径为R,A、B、C为球面上三点,A与B,A与C的球面距离都是π/2

如图,设球O的半径为R,A、B、C为球面上三点,A与B,A与C的球面距离都是π/2，B与C的球面距离是π/3，求球心O到平面ABC的距离。

Answer 1

令球半径R=1,这样方便一些
角AOB=π/2,AB=2sin(π/4)=根号2,AC=AB=根号2
角BOC=π/3,BC=2sin(π/6)=1

sin(角BAC/2)=(1/2)/(根号2)=1/(2(根号2))=(根号2)/4
cos(角BAC/2)=(1-((根号2)/4)^2)^(1/2)=(1/4)(根号(14)
sin(角BAC)=2sin(角BAC/2)cos(角BAC/2)=(1/4)(根号7)
设三角形ABC的外接圆半径=r
2r=BC/sin(角BAC)=4/(根号7)
r=2/(根号7)

球心O到平面ABC的距离=(R^2-r^2)^(1/2)=(1-(4/7))^(1/2)=(1/7)(根号21)

Answer 2

解：如图所示．
∵a与b，a与c的球面距离都为
πr
2
，
∴oa⊥ob，oa⊥oc．
从而∠boc为二面角b-oa-c的平面角．
又∵b与c的球面距离为
πr
3
，
∴∠boc=
π
3
．
这样球o在二面角b-oa-c的部分球面的面积等于
1
6
×4πr2=
2π
3
r2．
故答案为：
2π
3
r2