Question

求数学高手解题！！！！初中的代数题

a,b,c为正整数，求满足条件的所有正整数对（a，b，c）

Answer 1

　　解法一：由于所有不能被3整除的数的平方除以3的余数都是1，而所有3的倍数的平方都是9的倍数，因此，a、b、c中必有两个数是3的倍数，另一个则不是3的倍数。
　　不妨设b＝3y，c＝3z，且y≤z，则a^2＝2008－9y^2－9z^2＝2007－9y^2－9z^2＋1
　　即a^2除以9的余数是1，故a除以9的余数是1或8
　　于是，a的值可能为1、8、10、17、19、26、28、35、37、44
　　a＝1、8、17、19、35、37时，用穷举的方法知，无满足条件的y、z，即此时无满足条件的a、b、c的值；
　　a＝10时，9y^2＋9z^2＝2008－a^2＝1908，即：y^2＋z^2＝212，可得y＝4，z＝14，从而满足条件的a＝10、b＝12、c＝42；
　　a＝26时，9y^2＋9z^2＝2008－a^2＝1332，即：y^2＋z^2＝148，可得y＝2，z＝12，从而满足条件的a＝26、b＝6、c＝36；
　　a＝28时，9y^2＋9z^2＝2008－a^2＝1224，即：y^2＋z^2＝136，可得y＝6，z＝10，即此时满足条件的a＝28、b＝18、c＝30；
　　a＝44时，9y^2＋9z^2＝2008－a^2＝72，即：y^2＋z^2＝8，可得y＝2，z＝2，即此时满足条件的a＝44、b＝6、c＝6
　　故满足条件的正整数有三组：
　　10、12、42
　　26、6、36
　　28、18、30
　　44、6、6
　　根据a、b、c的对称性可得到等式的所有正整数解

　　解法二：
　　2008是4的倍数；
　　而任意两奇数平方之和不是4的倍数，可由下式知：
　　[（2i-1）^2+(2j-1)^2=4i^2+4j^2-4i-4j+2 ]mod 4=2;
　　所以 a,b ,c全偶数；
　　所以问题等价于a1^2+b1^2+c1^2=502,
　　502不是4的倍数，所以a1,b1,c1中必是两奇一偶；
　　另a1=2i-1,b1=2j-1,c1=2k;
　　a1^2+b1^2+c1^2=4i^2-4i+4j^2-4j+4k^2+2=502;
　　即：i^2+j^2-i-j+k^2=125;
　　i(i-1)+j(j-1)+k^2=125;前两项为偶数，所以k必为奇数；
　　k=1,3,5,7,9,11
　　而i(i-1)和j(j-1)可取2，6，12，20，30，42，56，72，90，110
　　下面就像搭积木一般组合排除了
　　不妨假设a<=b<=c （方便表示解）得
　　a b c
　　6 6 44
　　6 26 36
　　10 12 42
　　18 28 30
　　根据a、b、c的对称性可得到等式的所有正整数解

Answer 2

6 6 44
6 26 36
10 12 42
18 28 30
应该就这四组吧
编程
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
int i,j,k,N;
N=(int)sqrt(2008);
for(i=1;i<=N;i++)
for(j=i;j<=N;j++)
for(k=j;k<=N;k++)
if((i*i+j*j+k*k)==2008)
printf("%d %d %d\n",i,j,k);
}

Answer 3

这个问题在初中的书上应该有吧，反正我是不会