求一个正交变换x=py将下列二次型化成标准型 f=2(X1)^2+3(X2)^2+3(X3)^2+2X2X3
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解: A=
2 0 0
0 3 1
0 1 3
|A-λE|=(2-λ)[(3-λ)^2 - 1] = (2-λ)^2(4-λ)
所以A的特征值为 2,2,4
(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T, a2=(0,1,-1)^T
(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)^T
已正交. 单位化构成正交矩阵P=
1 0 0
0 1/√2 1/√2
0 1/√2 -1/√2
f = 2y1^2+2y2^2+4y3^2
2 0 0
0 3 1
0 1 3
|A-λE|=(2-λ)[(3-λ)^2 - 1] = (2-λ)^2(4-λ)
所以A的特征值为 2,2,4
(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T, a2=(0,1,-1)^T
(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)^T
已正交. 单位化构成正交矩阵P=
1 0 0
0 1/√2 1/√2
0 1/√2 -1/√2
f = 2y1^2+2y2^2+4y3^2
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