Question

几道抽象代数，求高手解答！！！高分！！！！

1.F≤K 是域，满足 [K:F]<∞,假设 F是有限的域，同时存在有限许多个域L 在F K 之间
证明K是F的简单扩张域

2.F=Q（有理数集） f（x）=x^4-2∈Q[X], 在复数集中 f（x）可以因式分解为f（x）=（x+2^1/4)(x-2^1/4)(x+i*2^1/4)(x-i*2^1/4)
让K=Q[2^1/4, -2^1/4, i*2^1/4, -i*2^1/4] K 即是f在复数集中唯一的分裂域（splitting field）
证明 K也等于Q[2^1/4, i]

Answer 1

1. 一般的说法是这样的:
F是有限域, K/F是一个有限扩张, 证明K是F的单扩张 (L的条件没什么用).
单扩张就是指存在α∈K, 使K = F(α).
证明: 设|F| = q, [K:F] = n, 则|K| = q^n.
K-{0}关于乘法构成一个q^n-1阶交换群.
有一个结论不知你知不知道: K-{0}是一个循环(cyclic)群.
即存在α∈K-{0}, 使K-{0}中的任意元素均可表为α^k形式, 其中k为正整数.
于是K ⊆ F(α), 又显然F(α) ⊆ K, 故K = F(α)为单扩张.

2. 记L = Q[2^(1/4),i].
考虑Q[x,y]中多项式: x, xy, xy², xy³.
它们在x = 2^(1/4), y = i处的取值依次为: 2^(1/4), i2^(1/4), -2^(1/4), -i2^(1/4).
于是2^(1/4), i2^(1/4), -2^(1/4), -i2^(1/4)∈L.
即得K ⊆ Q(2^(1/4), i2^(1/4), -2^(1/4), -i2^(1/4)) ⊆ L.
考虑Q[x,y,z,w]中多项式: x, x³y/2.
它们在x = 2^(1/4), y = i2^(1/4), z = -2^(1/4), w = -i2^(1/4)处的取值依次为2^(1/4), i.
于是2^(1/4), i∈K, 即得L ⊆ Q(2^(1/4), i) ⊆ K.
综合得K = L = Q[2^(1/4),i].