Question

已知函数fx=loga 1-mx/x-1为奇函数

1.求m的值2.判断fx在区间（1，＋无穷大）上的单调性并证明3.当a＞1时，fx在〖2.+无穷）上取得最大值为4，求a的值

Answer 1

(1)由奇函数
则f(-x)=-f(x)
则f(-x)
=loga[(1+mx)/-x-1]
=-f(x)
=loga[(x-1)/(1-mx)]
1-m^2x^2=1-x^2
(1-m^2)x^2=0
m=±1.
当m=1时,真数=-1<0,不合题意.
当m=-1时,
f(x)=loga [(x+1)/(x-1)].
∴m=-1.
(2)
f(x)定义域(－∞,-1)∪(1,＋∞).
f(x)=loga [(x+1)/(x-1)]
令t=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)
t在(1,＋∞)上t>0,且是减函数.
则loga t在R+上
当0<a<1时,是减函数,
当a>1时,是增函数.
又由复合函数单调性
当0<a<1时,f(x)在(1,+∞）上是单调递增函数
当a>1时,f(x)在(1,+∞）上是单调递减函数