Question

已知f(x)=ax^3+x^2-ax，其中a∈R,x∈R。若函数f（x）在区间（1,2）上不是单调函数，试求a范围。

Answer 1

解：求导
f'(x)=3ax²+2x-a,
如果 函数在区间（1,2）上是减函数，则 f'(x)≥0对于x∈[1，2]恒成立
则 a(3x²-1)≥-2x，x∈[1，2]
又 x≥1
从而 3x²-1>0
得到 a≥-2x/(3x²-1)，x∈[1，2]
从而 a≥[-2x/(3x²-1)]max，x∈[1，2]
令e(x)=-2x/(3x²-1)，则 e'(x)=[-2(3x²-1)+2x•6x]/(3x²-1)²=(6x²+2)/(3x²-1)²>0
因此 e(x)是增函数，最大值为g(2)=-4/11
则 a≥-4/11
∴a的取值范围是[-4/11，+∞)

追问

不是单调函数

追答

若 一个函数在某区间上不是单调函数
则 导数有大于0也有小于0的值

解：
f'(X)=3ax^2+2x-a
∵函数f（x）在区间（1,2）上不是单调函数
∴f'(1)>0 ①或 f'(2)0 ④
解①②③④得 -1<a<-4/11
∴a范围: (-4/11,-1)