Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-1）2+y2=16，圆C2：（x+1）2+y2=1，点S为圆C1上的一个动点，现将

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-1）2+y2=16，圆C2：（x+1）2+y2=1，点S为圆C1上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心C2（-1，0）恰与点S重合，折痕与直线SC1交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过动点S作圆C2的两条切线，切点分别为M、N，求MN的最小值；
（3）设过圆心C2（-1，0）的直线交圆C1于点A、B，以点A、B分别为切点的两条切线交于点Q，求证：点Q在定直线上．

Answer 1

(1)
设P点坐标为(x0,y0)
P为S与C2的中点.C2(-1,0)
故S:(2x0+1,2y0)
S在C1上:
(2x0+1-1)^2+(2y0)^2=16
x0^2+y0^2=4
P点轨迹：x^2+y^2=4
(2)
设S与C2距离为p,(2<=p<=6)
SM=SN=根号(n^2-1)
三角形SMC2的面积=1/2*SM*1=1/2*(MN/2)*n
MN=2SM/n=2根号（1-1/n^2）
当n=2时，MN最小=根3
（3）
设点Q的坐标为（p,q）
QC1=根号[(p-1)^2+q^2]
QA=QB=根号(QC1^2-4^2)=根号[(p-1)^2+q^2-16]
以Q为圆心，QA的半径的圆方程为：
(x-p)^2+(y-q)^2=(p-1)^2+q^2-16
C1:(x-1)^2+y^2=16
两式相减，得AB方程：
(1-p)x-qy=-p-15
AB通过点（-1，0），代入得：
p=-7
故，点Q在定直线x=-7上。