Question

一道数学题，求详细过程！！

f(x)=ax³-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立，则a=？

Answer 1

（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，
则需f(1)≥0即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
（3）a>0时，f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，
①x=0时，1≥0成立
②0<x≤1时，a≥（3x-1）/(x^3) 令g(x)= （3x-1）/(x^3),
求导得g’(x)=（3x^3-(3x-1)•3x^2）/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)
易知0<x<1/2时函数递增，1/2<x<1时递减，
所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4
③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3)g(x)= （3x-1）/(x^3),
求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4) 可知g(x)在-1<x<0时是增函数，
其最小值为g(-1)=4∴a≤4
由②知a≥4 ∴a=4.综上知a=4.

Answer 2

f(x)≥0总成立，即：ax^3≥3x-1
当x=0时，显然成立,对任意的a都成立
当x>0时，a≥3/x^2-1/x^3=1/x^2*(3-1/x)
因为3=1/(2x)+1/(2x)+(3-1/x)≥3(3次根号下1/(4x)^2*(3-1/x)
(当且仅当1/(2x)=3-1/x,x=3/8时取等号）
得：1/x^2*(3-1/x)≤4, 即1/x^2*(3-1/x)的最大值是4,故a≥4
当x<0时 a≤3/x^2-1/x^3
因为： 3/x^2是增的，1/x^3是减的，3/x^2-1/x^3是增的
故当x=-1时，3/x^2-1/x^3的最小值是4
故a≤4
综上，只有a=4时才能使f(x)≥0总成立

Answer 3

f(x)=ax³-3x+1
1.a=0,f(x)=-3x+1,x∈[-1,1],f(1)=-2与对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立”不符。
2。a≠0
f'(x)=3ax²-3=3a(x²-1/a)
(1)若a<0,有f'(x)<0,f(x)在[-1，1]上单调递减，
故x=1时，f(x)取得最小值a-2,
∵对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立
∴a-2≥0
a≥2与a<0矛盾，
∴a<0时，不符合。
(2)a>0,f'(x)=3ax²-3=3a(x²-1/a)=3a(x+1/√a)(x-1/√a),x∈[-1,1],
1)0<a<1时,f'(x)<0,f(x)在[-1，1]上单调递减，由上面的推导可知
a≥2，也与0<a<1矛盾
∴0<a<1时，不符合。
2)a=1,f(x)=x³-3x+1
f(1)=-1,与“对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立”矛盾
∴a=1时，不符合。
3)a>1,x∈[-1,-1/√a),f'(x)>0,f(x)单调递增，
x∈(-1/√a,1/√a),f'(x)<0,f(x)单调递减，
x∈(1/√a,1],f'(x)>0,f(x)单调递增，
故f(x)取得最小值只能在x=-1或x=1/√a取得.
∴f(-1)≥0且f(1/√a)≥0
即:-a+4≥0且-2/√a+1≥0
解得a≤4且a≥4
∴a=4
综上可知实数a的值是4。

追问

是正解！！