Question

设f(x)定义于负无穷<x<正无穷，满足条件|f(x1)-f(x2)|<=N|x1-x2|,其中N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个

提示：任取x0，作逐步逼近点列xn+1=f（xn）（n=0，1，2……），然后证明xn收敛于方程的唯一解

Answer 1

答案如下：

对关于x进行求导：

有3（x^2+y^2y'-ay-axy')=0。

所以有（x^2-ay)+(y^2-ax)y'=0。

所以y'=(ay-x^2)/(y^2-ax)。

相关信息

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

Answer 2

|f(x1)-f(x2)|<=N|x1-x2|,
　　|f(x1)-f(x2)| / |x1-x2|,<=N<1
即f（x）的导数小于1

设G（x）=f（x）-x
G（x）的导数=f（x）的导数-1<0
G(x)单调递减，最多只有一个0点，
即最多一个解，显然G(X)属于负无穷到正无穷，必定存在0点
故有且只有一个0点

追问

要用我提示的方法做

Answer 3

先用上面的方法证出，若g（x）存在零点，则x=f（x）的解存在唯一，之后开始用提示方法构造数列，参照解的存在唯一性定理的命题三的证法，就是证明一致收敛的那个（我不知道怎么输进来），来证明解的存在性，存在就唯一，这样就可以了，可以上网找找那个命题的证明方法。

Answer 4

这里0<n<1，不知道对不对