Question

△abc中，(1)如果sina=2sinccosb，判断△abc的形状。(2)若方程10x^2-10xcosb-3cosb 4=0有两个相等

△abc中，(1)如果sinA=2sinCcosB，判断△abc的形状。(2)若方程10x^2-10xcosB-3cosB+4=0有两个相等的实根，AC=4，求△abc周长的最大值

第二问详解，答案 4√10+4
麻烦用sin求!速度谢谢!!!!!

Answer 1

答：
（1）sinA=2sinCcosB
sin[π-(B+C)]=2cosBsinC
sin(B+C)=2cosBsinC
sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC
sinBcosC-cosBsinC=0
sin(B-C)=0
B-C=0
B=C
所以△ABC是咐消庆等腰三角形，∠B=∠C

（2）10x^2-10xcosB-3cosB+4=0有两个相等的实数根，则：
△=(-10cosB)^2-4*10*(-3cosB+4)=0

即：5(cosB)^2+6cosB-8=0
(5cosB-4)(cosB+2)=0
5cosB-4=0

cosB=4/5
所以sinB=3/5
根据正弦定理得：
2R=BC/sinA=AB/衡握sinC=AC/sinB=4/(3/5)=20/3
三角形周长
L=BC+AB+AC
=20(sinA+sinC)/3+4
=20{sinA+sin[π-(A+B)]}/3+4
=20(sinA+sinAcosB+cosAsinB)/3+4
=20(sinA+4sinA/5+3cosA/5)/3+4
=12sinA+4cosA+4
=12√[1-(cosA)^2]+4cosA+4
L对cosA求导：

L'(cosA)=-12cosA/√[1-(cosA)^2]+4
令L'(cosA)=-12cosA/√[1-(cosA)^2]+4=0，得：cosA=1/√10，sinA=3/√10
故当cosA=1/√10时三角形周长L有最大值Lmax=12*3/√桥兄10+4*1/√10+4=4√10+4