Question

高数：曲线的凹凸性

定理1：设函数f(x)在区间U内可导。如果f'(x)在区间U内单调增加（或单调减少），那么函数f(x)在区间U上的图形是凹的（或凸的）。定理2：设函数f(x)在区间U内二阶可导，那么 （1）若在U内，f''(x)>0，则函数f(x)在区间U上的图形是凹的； （2）若在U内，f''(x)<0，则函数f(x)在区间U上的图形是凸的。 例：判定曲线y=lnx的凹凸性。 解：因为y'=1/x，y''=-1/x^2，所以在函数y=lnx的定义区间（0，+∞）内，y''<0，由定理2可知，曲线y=lnx是凸的。 问：既然y'=1/x，在函数y=lnx的定义区间（0，+∞）内，y'>0，由定理1可知，曲线y=lnx是凹的。但是如果算出y''=-1/x^2，由定理2可知，曲线y=lnx是凸的。这题到底要不要算出函数y=lnx的二阶导数再得出结果呢？如果必需要算出函数y=lnx的二阶导数，那要定理1还有什么用呢？ 请高人回答~！

Answer 1

1、y'＞0不代表y'递增，定理1说的是y'递增则曲线凹 2、要不要求二阶导数要看题目，如果y'的单调性很容易判断出来，自然就不需要求y''了。比如本题用定理1也很容易，因为y'＝1/x在(0,+∞)内递减。一般题目都是用定理2来做的 3、“y'=1/x，在函数y=lnx的定义区间（0，+∞）内，y'>0，由函数的单调性的定理1可知函数y=lnx在（0，+∞）上单调增加，再根据曲线的凹凸性的定理1，不就得出来曲线y=lnx是凹的了吗？” 还是错误的，y'的单调性才对应曲线的凹凸性，而不是y的单调性，看清楚定理的条件 4、定理1与定理2在一定条件下是一样的，比如y''存在且连续，则y'的单调性就对应y''＞0或y''＜0，这样定理1和定理2就是一样的 5、曲线的凹凸性与函数的极值的判定是类似的，都是有2个充分条件和1个必要条件，且结论的形式也类似，可以放在一起来理解

Answer 2

y'>0只能说明函数y=lnx是单调递增的，而不是y'是单调递增的。