Question

设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，

设三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b-c)*cosA=a*cosC，三角形ABC的面积为根号2，则向量BA*向量AC

Answer 1

解答：
(3b-c)*cosA=a*cosC
利用正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴ (3sinB-sinC)*cosA=sinAcosC
∴ 3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
∴ 3sinBcosA=sin(A+C)=sinB
∴ cosA=1/3
∴ sinA=√(1-cos²A)=2√2/3
∵ S=(1/2)bcsinA=√2
∴ bc=3
∴ 向量BA*向量AC
=-向量AB.向量AC
=-c*b*cosA
=-1

追问

为什么要让 向量BA=-向量AB

追答

向量AB，向量AC的夹角才是角A

Answer 2


△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且cosB=
35
（1）求
cosAsinA+
cosCsinC的值；
（2）设
BA•
BC

=3，求a+c的值．
解：（1）由已知b2=ac，由正弦定理得 sin2B=sinAsinC．…（3分）
由cosB=35，可得sinB=45．
∴cosAsinA+
cosCsinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinBsinAsinC=1sinB=54．…（6分）
（2）由 BA•
BC=3，得 ac=5．…（8分）
由余弦定理：b2=a2+c2-2ac•35，…（10分）
∴（a+c）2=21，a+c=21．…（12分）

Answer 3

n-p=(c-2b,a)
∴m×（n-p）=cosA·（c-2b）+cosC·a=0
移项
得
cosA·c+cosC·a=cosA·2b
有
正弦定理
得
cosA·sinC+cosC·sinA=2cosA·sinB
即
sin（A+C）=2cosA·sinB
sinB=2cosA·sinB
∴cosA=0.5
因为角A是三角形ABC的
内角
所以∠A=60°

Answer 4

(1)过点c作ch⊥ab于h，设ah
=
4，则易得：ac
=4√2
bh
=
3
bc
=
5
ab=
7

然后利用余玄定理即可求出cosc的值。
（2）结合（1）问的结论，看到：ch
=
ah=
8
bh
=
6
所以
bd
=
7
根据余玄定理即可求出cd的长。