Question

已知a,b为正实数,且a+b=1,求证3^a+3^b<4

Answer 1

证明：4-3^a-3^b=3+1-3^a-3^b
因为a+b=1
所以3^1=3^(a+b)
所以4-3^a-3^b=3^(a+b)-3^a-3^b+1=3^a(3^b-1)-(3^b-1)=(3^b-1)(3^a-1)
因为a>0 b>0
所以3^a>1 3^b>1
所以(3^b-1)(3^a-1)>0

所以3^a+3^b<4

Answer 2

设f（x）=3^x+3^(1-x),求导发现是先减后增所以最大值在两端取得，所以a=0或a=1是取最大值，发现都是4，而a是正实数，所以不取等。