Question

设函数f（x）=e^x-k/2（x）^2-x 若x≥0 f（x）≥1 恒成立 求k的取值

Answer 1

f（x）=e^x-k/2*x²-x
x≥0, f（x）≥1, 恒成立
∵f(0)=1
∴f(x)≥f(1)
f'(x)=e^x-kx-1
当k≤0时，f'(x)为增函数
∴f'(x)≥f'(0)=e^0-1=0
∴f(x)为[0,+∞)上的增函数
∴f(x)≥f(0)=1
当k>0时，
f'(x)=e^x-kx-1
f''(x)=e^x-k
当0<k≤1时，e^x-k≥0，f''(x)≥0

∴f'(x)是增函数
∴f'(x)≥0,f(x)是增函数，f(x)≥1
当k>1时，f''(x)=0解得x=lnk
∴f'(x)min=f'(lnk)=k-k²-1<0
f'(0)=0,
∴f(x)在(0,lnk)上为减函数
x∈(0,lnk)时，f(x)<f(0)=1不符合题意

∴k的取值范围是k≤1

Answer 2

分离系数法