Question

麻烦高手详细解答,谢谢。

已知数列{an}的各项为正数,前n项和Sn,且Sn=an(an+1)/2,n属于N*.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)设bn=1/2Sn,Tn=b1+b2+···+bn,求Tn.

Answer 1

a_n=S_n-S_(n-1)=a_n(a_n+1)/2-a_(n-1)(a_(n-1)+1)/2
化简得到
(a_n+a_(n-1))*[a_n-a_(n-1)-1]=0
{an}为正，所以a_n-a_(n-1)=1，是等差数列，且由S_1=a_1=a_1(a_1+1)/2得到a_1=1，故数列{an}就是自然数数列。

由b_n=1/2*S_n=1/4*n(n+1)
T_n=1/4*Sum[n*(n+1)]=1/4*[Sum(n^2)+Sum(n)]=1/4*[n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2];
大致如此。

Answer 2

Sn = an(an+1)/2;
则 Sn-1 = an-1(an-1+1)/2;
Sn-Sn-1 = an(an+1)/2-an-1(an-1+1)/2;
又 Sn-Sn-1 = an；
所以 an(an+1)/2-an-1(an-1+1)/2 = an;
展开得(an-an-1 -1)(an+an-1) = 0;
因为数列{an}的各项为正数,所以an+an-1>0
所以an-an-1 -1 = 0 即 an-an-1 = 1;
所以{an}是等差为1的等差数列