Question

全等三角形证明

已知△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60度角的顶点E在BC上滑动（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交与点F。当点E在BC边上的任意位置时，AE与EF有怎样的数量关系？并说明你的理由。

Answer 1

(1)
1
AE=AF
连结A，F，记EF交AC于点H
易得△EHC≌△FHC（CF为角平分线，E为中点，三线合一这些用一下）
因为△EHC≌△FHC
所以△AEC≌△AFC
所以AE=AF

Answer 2

四点共圆：
∠AFE=∠ACF=60º
∴A、E、C、F四点共圆
∴∠CAF=∠CEF
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=60º+∠CEF
∠AEC=∠B+∠BAE=60º+∠BAF（三角形外角和）
∴∠CEF=∠BAF
∴∠CAF=∠BAF
又AC=AB、∠ACF=∠B
∴△ACF≌△ABE
∴AE=AF
又∠AEF=60º
∴△AEF为等边三角形
∴AE=EF