Question

一个关于球坐标的问题

x+y+z=1 则1/x+4/y+9/z 的最小值令X=(sinαcosβ）^2 , Y=（cosαcosβ）^2, Z=（sinβ）^2 其中α、β为锐角，这题目用柯西不等式很简单，可是我想知道关于球坐标的解法（之前问过一次，某大神说是要用球坐标的） 当时我没想下去，近期又看到这道题有点顿悟，我没看过相关定义和教材，只想问一下，这个球坐标的意思是不是，在一个空间中用两个角度α和β以及向量长度就可以确定一个点，这样的话，1/x+4/y+9/z就对应了三个同向空间向量，就相当于相似但尺寸不完全等的长方体的对角线，可是这怎么一下子得出最小值是36呢

Answer 1

假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影；。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0,+∞)，φ∈[0, 2π]， θ∈[0, π].当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面； θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。

Answer 2

(1/x+4/y+9/z )*(x+y+z)=1+4x/y+9x/z+4+y/x+9y/z+9+z/x+4z/y
=1+4+9+(4x/y+y/x)+(9x/z+z/x)+(9y/z+4z/y)
>=14+2*2+2*3+2*6
=36
当且仅当4x/y=y/x、9x/z=z/x、9y/z=4z/y时等号成立..
至于令X=(sinαcosβ）^2 , Y=（cosαcosβ）^2, Z=（sinβ）^2 其中α、β为钝角这个..我是不会告诉你这是用到球坐标的..