Question

求数列{n×2^n}的前n项和sn

Answer 1

sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+..........+n*2^n
2sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+..........+n*2^(n+1)
sn-2sn=2^1+2^2+2^3+...........+2^n-n*2^(n+1)
-sn=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
sn=n*2^(n+1)-2*(1-2^n)/(1-2)
sn=n*2^(n+1)-2*(2^n-1)
sn=n*2^(n+1)-2^(n+1)+2
sn=(n-1)*2^(n+1)+2

Answer 2

2Sn=1×2^2+2×2^3+3×2^4+....+n×2^(n+1)
Sn=1×2+ 2×2^2+3×2^3+....+n×2^n
2Sn-Sn=2+2×2+3×2+....+n×2
Sn=2(1+2+3+.....+n)
Sn=2×{(1+n)n/2}=(1+n)n
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Answer 3

Sn=1×2^1+2×2^2+3×2^3+……+n×2^n……①
2Sn=1×2^2+2×2^3+3×2^4+……+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)……②
②-①得 Sn=-1×2^1+(-2^2)+(-2^3)+……+(-2^n)+n×2^(n+1)=-(2^1+2^2+……+2^n)+n×2^(n+!)=-(2-2^(n+1))/
(1-2)+n×2^(n+1)=2+(n-1)×2^(n+1)

Answer 4

用“错位相减”求和法