Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),点B(3,0),与Y轴相交于点C(0,-3)

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A（-1，0）点B（3，0）与y轴交于点C（0，-3）点N是抛物线对称轴上的一个点 若以点N为圆心的圆经过AB两点 并且与直线CM相切 求出点N的坐标

抛物线解析式是y=x²-2x-3
直线CM解析式是y=-x-3

Answer 1

答：
点A(-1,0),点B(3,0),点C(0,-3)代入抛物线y=ax^2+bx+c可以解得抛物线方程为：y=x^2-2x-3

抛物线对称轴x=1，依据题意知道，NA=NB=点N到直线CM：x+y+3=0的距离，设点N为（1，n)。
NA=NB=√(2^2+n^2)=|1+n+3|/√2
整理得：n^2-8n-8=0
解得：n=4±2√6

故点N为（1,4-2√6）或者（1,4+2√6）

追问

N到直线CM的距离怎么算

追答

把直线方程整理成ax+by+c=0的形式，
点（m，n)到直线的距离公式就是：|am+bn+c|/√(a^2+b^2)

追问

直线距离我们没教过，还有什么方法吗

追答

那就采用直线CM与圆N相交仅有一个交点的方法来求吧（仅有一个交点表面直线在该点上与圆相切，这个学过吧？）：
设点N为(1,n)，点A(-1,0),点B(3,0)，圆半径R满足：
R^2=NA^2=n^2+4
设圆方程为：
(x-1)^2+(y-n)^2=R^2=n^2+4
把直线CM方程：y=-x-3，即：x=-y-3代入圆方程得：
(-y-3-1)^2+(y-n)^2=n^2+4
整理得：
y^2+(4-n)y+6=0
圆与直线相切，交点唯一，上述方程仅有一解：
△=(4-n)^2-4*1*6=0
解得：n=4±2√6
所以点N为（1,4+2√6）或者（1,4-2√6）

要是还看不懂的话，请私信吧，再追问会浪费你更多的分数

Answer 2

y=x²-2x-3 = (x - 1)² - 4
对称轴x = 1
N(1, n)
圆半径r, r² = NA² = (1 + 1)² + (n - 0)² = 4 + n²
y = -x - 3, x + y + 3= 0
N与其距离为半径r = √(4 + n²) = |1 + n + 3|/√2
n² - 8n - 8 = 0
n = -4 ± 2√6
N(1, -4 ± 2√6)

Answer 3

由以点N为圆心的圆经过AB两点得：N在AB的垂直平分线上，数形结合即可判定N点为抛物线的顶点(1，-4)

Answer 4

解由二次函数y＝ax＋bx＋c的图像与x轴交于a（1，0），b（3，0）
设二次函数为y=a（x-1）（x-3）
又由与y轴交于c（0，3）
即a（0-1）（0-3）=3
即a=1
故二次函数y=（x-1）（x-3）
即为y=x^2-4x+3
=（x-2）^2-1
故顶点为（2，-1）。