Question

已知二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0）． （1）求该二次函数的关系式； （2）设抛物线

与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）设经过B、C、D三点的圆的圆心为O′，设⊙O′与x轴的另一个交点为E，求线段BE的长．

Answer 1

　　（1）由二次函数的顶点坐标以及A点坐标，利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出二次函数与坐标轴交点坐标，进而得出CD，BD，BC的长度，进而得出答案；
（3）利用直角三角形的性质得出四边形OMDE是矩形，进而求出即可．

• 　　解答：解：（1）∵二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0），
  ∴二次函数解析式为：y=a（x-1）2-4，
  将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1）2-4，
  ∴a=1，
  ∴二次函数的关系式为：y=（x-1）2-4；
  
  （2）∵抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，
  ∴0=（x-1）2-4；
  x1=-1，x2=3，
  ∴点B坐标为：（3，0），
  y=（0-1）2-4=-3，
  ∴点C坐标为：（0，-3），
  过点D作DM⊥y轴，DN⊥BN，BN∥y轴，
  ∴CD=MD2+CM2=2，
  BD=BN2+DN2=42+22=25，
  BC=OB2+CO2=32，
  ∴CD2+BC2=BD2，
  ∴△BCD是直角三角形；
  
  （3）连接ED，
  ∵△BCD是直角三角形．
  ∴BD是⊙O′的直径，
  

追问

第二问的根号打不出来吗？？

追答

是的 ，见谅。

Answer 2

（1）设方程为y=k(x-1)²-4;
带入(-1,0)则有：4k-4=0；k=1；
所以解析式为y=(x-1)²-4=x²-2x-3;
(2)y=(x-3)(x+1)=0;
x=3或x=-1；
所以与x轴另一个交点为B(3,0);
x=0;y=-3;所以C(0,-3);
BD=√(4+16)=2√5;BC=√(9+9)=3√2;CD=√(1+1)=√2;
∴BD²=BC²+CD²;
∴△BCD为直角三角形
(3)所以圆心O′为BD中点(2.-2),半径=BD÷2=√5;
圆O′方程为(x-2)²+(y+2)²=5;
与x轴交点：(x-2)²=5-4=1;x-2=±1;x=2±1;
交点E(1,0)
BE=√(4+0)=2;