Question

已知定义在R上的函数f(x)和g(x)满足g(x) 0,f'(x)g(x)<f(x)g'(x),f(x)=a^xg(x),f(1)/g(-1)+f(-

已知定义在R上的函数f(x)和g(x)满足g(x) 0,f'(x)g(x)<f(x)g'(x),f(x)=a^xg(x),f(1)/g(-1)+f(-1)/g(-1)=5/2,令an=f(n)/g(n),则使数列an的前n项和sn超过15/16的最小自然数n为？

Answer 1

f'(x)g(x)<f(x)g'(x)
即f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0
即[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)<0
[f(x)/李丛游g(x)]<0
∴f(x)/郑让g(x)是减函数

∵f(x)=a^x*g(x)
∴f(x)/g(x)=a^x
∴0<a<1
∵f(1)/g(1)+f(-1)/g(-1)=5/2,
∴a+1/a=5/哪销2
∴a=1/2

∴an=f(n)/g(n)=(1/2)^n
Sn=1/2*[1-1/2ⁿ]/(1-1/2)=1-1/2ⁿ
若Sn>15/16
即1-1/2ⁿ>15/16
则1/2ⁿ<1/16=(1/2)⁴
∴n>4
满足条件的最小自然数n为5