Question

如图AB∥CD,PA平分BAC,PC平分ACD,过P点作PM,PE交CD于M,交AB于E,(1)求证PA⊥PC.,(1)

(2)

求当E.M在AB,CD上运动时，则（1）∠1+∠2+∠3+∠4不变；（2）∠3+∠4-∠1-∠2不变，选择正确给予证明。 求第2问

Answer 1

∵AB∥CD
∴∠BAC+∠ACD=180°
∵PA平分∠BAC PC平分∠ACD
∴∠BAP+∠PCD=½∠BAC+½∠ACD=90°
过点P作PQ∥AB
∴∠BAP=∠APQ
∴PQ∥MD
∴∠PCD=∠QPC
∴APC=∠BAP+∠PCD
∴PA⊥PC

第二个是正确的
首先我们看到两条角平分线、PA和PC 因为AB∥CD 所以∠BAC+∠DCA=180°
因为PA平分∠BAC，PC平分∠DCA 所以∠PCA+∠PAC=180°*1/2=90°，同理角BAP+∠PCD=90°
因为角3+∠4=∠PAQ（假设BA延长的那条线一个点为Q）∠1＋∠2＝∠PCD
∠PAB=180°-∠PAQ，∠PAB+PCD=90°，180°-∠PAQ+∠PCD=90°所以∠PAQ-∠PCD=90°
也就是∠3+∠4-∠1-∠2=90°故这个角恒为90°