Question

在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE垂直AB于E，设角ABC＝a当a大

在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE垂直AB于E，设角ABC＝a当a大于60度小于90度时，是否存在角EFD＝k角AEF？求正整数k的值

Answer 1

存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF
∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF=1/2AD=1/2BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

Answer 2

当a=60度时，E点与A点重合，所以角EFD=k=180度。
当a=90度时，E点与B点重合，所以角EFD=k=135度。
所以 k 在135度至180度之间。