Question

急求，选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-m）．

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-m）．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

已知函数f（x）=log₂(|2x+1|+|x+2|-m)．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
解：(1)。f(x)=log₂(|2x+1|+|x+2|-4)．
为求定义域，须要解不等式|2x+1|+|x+2|-4=2|x+1/2|+|x+2|-4>0；
当x≦-2时有-(2x+1)-(x+2)-4=-3x-7>0，得x<-7/3，{x∣x≦-2}∩{x∣x<-7/3}={x∣x<-7/3}............①
当-2≦x≦-1/2时有-(2x+1)+(x+2)-4=-x-3>0，得x<-3，｛x∣-2≦x≦-1/2}∩{x∣x<-3}=Ф...........②
当x≧-2时有(2x+1)+(x-2)-4=3x-5>0，得x>5/3，{x∣≧-2}∩{x∣x>5/3}={x∣x>5/3}...................③
①∪②∪③=(-∞，-7/3)∪(5/3，+∞）为该函数的定义域。
(2)。由log₂(|2x+1|+|x+2|-m)≥1，得|2x+1|+|x+2|-m≥2对任何x都成立，故m≦|2x+1|+|x+2|-2；
下面要求出|2x+1|+|x+2|-2的最小值，也就是要求出|2x+1|+|x+2|的最小值。
|2x+1|=2|x+1/2|是x轴上的动点x到定点-1/2的距离的2倍；|x+2|是x轴上动点x到定点-2的距离；
为使这两个距离和最小，动点应该在区间[-2，1/2]内，此时|2x+1|+|x+2|=-(2x+1)+x+2=-x+1；
由于-2≦x≦-1/2，故1/2≦-x≦2，3/2≦-x+1≦3，由此可见：|2x+1|+|x+2|的最小值是3/2.
于是得m≦3/2-2=-1/2.这就是m得取值范围。