Question

若1/a+1/b=1/c,求证:a²+b²+c²=(a+b-c)²

Answer 1

1/a+1/b=1/c
1/a+1/b-1/c=0

a²+b²+c²-(a+b-c)²
=a²+b²+c²-（a²+b²+c²+2ab-2bc-2ac）
=2bc+2ac-2ab
=2abc(1/a+1/b-1/c)
=0

所以 a²+b²+c²=(a+b-c)²

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Answer 2

求证:a²+b²+c²=(a+b-c)² 即证：
a²+b²+c²=a^2+b^2+c^2+2(ab-ac-bc)
则有 ab-ac-bc=0
又因为 1/a+1/b=1/c，两边同乘abc，得 bc+ac=ab 即 ab-ac-bc=0
所以原式得证

Answer 3

2(1/a+1/b)abc=2(1/c)abc <==>2bc+2ac=2ab;
(a+b-c)²=a²+b²+c²-2bc-2ac+2ab<==>a²+b²+c²-2ab+2ab=a²+b²+c²;
上式得证