Question

已知三个不同的实数abc已知三个不同的实数abc满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实跟，方

已知三个不同的实数abc满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实跟，方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实跟，求abc的值

Answer 1

因为 x^2+ax+1=0 与 x^2+bx+c=0 有一个相同实根，
因此相减得相同实根是 x=(c-1)/(a-b)=(c-1)/(3-c) ，
代入原方程可得 (c-1)^2+a*(3-c)(c-1)+(3-c)^2=0 ，-------①
同理，由于 x^2+x+a=0 与 x^2+cx+b=0 有相孝逗世同实根，
所巧肢以相减得相同实根是 x=(a-b)/(c-1)=(3-c)/(c-1) ，
代入原方程可得指辩 (3-c)^2+(3-c)(c-1)+a(c-1)^2=0 ，---------②
又由已知 a-b+c=3 ，----------③
下面解联立方程组①②③ 。
①-② 得 (a-1)(3-c)(c-1)-(a-1)(c-1)^2=0 ，
分解得 (a-1)(c-1)(4-2c)=0 ，
若 a=1 ，则方程 x^2+x+1=0 无实根，所以 a ≠ 1 ；
又 c-1 ≠ 0 ，因此可得 c=2 ，代入①得 a= -2 ，由此得 b= -3 。