Question

大神高中数学求助！

已知椭圆E的方程为x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)，长轴是短轴的2倍，且椭圆E过点(2，2根号2)；斜率为k（k＞0）的直线l过点A（0，2），n为直线l的一个法向量，坐标平面上的点B满足条件|n•AB|=|n|．
（1）写出椭圆E方程，并求点B到直线l的距离；
（2）若椭圆E上恰好存在3个这样的点B，求k的值．

Answer 1

(1)
x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)
∵长轴是短轴的2倍
∴a=2b
椭圆方程即x²/4+y²=b²
∵椭圆E过点(2，2√2)；
∴b²=(2²/4)+(2√2)²=9
∴a²=4b²=36
∴椭圆E的方程为x²/36+y²/9=1
设B到l的距离d
那么d=|AB|*|cos<AB,n>|
=|AB|*|n●AB|/(|n|*|AB|)
=|n●AB|/|n|
∵|n•AB|=|n|．
∴B到l的距离d=1

(2)
椭圆E上恰好存在3个这样的点B
即椭圆上恰好存在3个点到l的距离等于1
直线l过点A（0，2），斜率为k ,(k>0)
∴l:y=kx+2
那么做与l平行且相距为1的直线m，
符合条件的直线可以做2条，
其中一条与椭圆相切（t>2)，
另一条与椭圆相交(t<2)
t>2时，设m:y=kx+t与椭圆E相切
y=kx+t代入x²/36+y²/9=1
x²+4(kx+t)²-36=0
即(1+4k²)x²+8ktx+4t²-36=0
Δ=64k²t²-4(1+4k²)(4t²-36)=0
整理 4t²-36-144k²=0
∴t²-9-36k²=0 ①
又m与l的距离为1
∴|t-2|/√(k²+1)=1
∴(t-2)²=k²+1
∴k²=t²-4t+3 ②
解①②得：
t²-9=36(t²-4t+3)
∴35t²-144t+117=0
解得t=3,t=39/35（舍）
∴k=0 (怎么与k>0矛盾呀）

追问

我后来自己算了一下，第一用射影理解，总是等于一，第二题我觉得一定是要相交的，然后其中一个点是长轴顶点你觉得这样理解对么？

追答

第一问我给你的方法最简

 

上传了一个几何画板课件，你可以看看

追问

嗯，收到。第二题我再看一下

追答

拖动椭圆上的点，直线可以转动，符合条件时，k=0