Question

（2009•本溪）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0

（2009•本溪）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）
∴得到，
解得a=-，b=，c=4
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4
（或y=-（x+2）（x-6）或y=-（x-2）2+）
四边形OADE为正方形；

（2）根据题意可知OE=OA=4，OC=6，OB=OF=2，
∴CE=2、
∴CO=FA=6
∵运动的时间为t
∴CP=FQ=t
过M作MN⊥OE于N，则MN=2
当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t
∴S=+=（6-t）×2+（6-t）（2- t）=（6-t）（4- t）
∴S=t2-5t+12，
当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，（不写也可）
当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°
∵FQ=CP=t，FO=CE=2
∴OQ=EP
∴△QOM≌△PEM
∴四边形OPMQ的面积S==×4×2=4
综上所述，当0≤t＜2时，S=t2-5t+12；
当2＜t＜6时，S=4；