Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,点D在BC边上

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,点D在BC边上，CD=1，DE⊥BC，P为DE上一动点（不与D,E重合），过点P作DE的垂线交AC,AB于F,G设DP=x
当x为何值时，四边形DFEG为梯形？

Answer 1

答：（借用上图）
四边形DFEG为梯形，即EF//DG。
已知：AC=2,BC=4,点D在BC边上，CD=1，DE⊥BC，所以三角形ABC与三角形BDE为相似三角形，所以DE=1.5。
又：DE⊥BC，过点P作DE的垂线交AC,AB于F,G，所以四边形FCDP为矩形，所以FP=CD=1，FC=PD=x。所以AF=2-x，EP=1.5-x。
又：△AFG与△ABC相似，所以(AF/AC=FG/BC)=[(2-x)/2=FG/4],得：FG=3-2x.
又：EF//DG，所以∠FEP=∠PDG(角），ED⊥FG,所以∠EPF=∠DPG=90°(角），所以△EFP与△DPG为相似三角形，所以(PG/FP=PD/EP)=[(3-2x）/1=x/(1.5-x)],得x=（7+根号13）/4 或x=（7-根号13）/4
又：(7+根号13）/4大于2，所以舍去该借，最后得：x=（7-根号13）/4

Answer 2

分两种情况，
当fd//eg时是一种，此时x=0.5.
当fe//dg时是一种情况，此时x=2-0.5*√¯(5)