Question

三重积分计算的问题

请问计算三重积分时，若不画图怎么根据已知的代数式子求出各个变量的范围，如这道题I=∫∫∫{Ω}f(x,y,z)dv,积分区域为由曲面z=x^2+y^2,y=x^2,y=1,z=0所围成的空间闭区域？
还有如何将如 ∫{0，1}dx∫{0，1}dy∫{0，x^2+y^2}f(x,y,z)dv按 y,z,x 的次序写出三个积分表达式.
详细说明下，谢谢~~
其实，我的意思就是怎么画好由若干个面构成的空间区域，尤其是其交线部分，否则我看不出相应的范围，还有不知道该区域在比如xoy面上的投影应该是什么样子，用那个方程表示。介绍下经验吧~再次感谢
~~首先非常感谢各位的回答，我还有点问题，就是niujiniuzu 回答的方法就是我想要知道的，但是请问1.所谓的上下左右前后，是坐标系怎么放置时的方位2.我很想知道怎样确定上下左右前后各个表面是由谁构成，由于我画不出来像这样较复杂的空间大概图形，所以也不知具体是怎样的构成？
为答谢，我会再提高些悬赏的~~
我可以知道各个单独的方程在空间中表示的立体图形，但是他们组合到一起，表示一个空间区域时，就比如说我问的第一个题，是怎样由此可知z=x^2+y^2构成的是封闭区域的上表面
第二个式子构成左表面， 第三个式子构成的的是右表面 ，第四个式子构成底面？谢谢
最后一个问题了，就是第二题，您回答的是∫{0，1}dx∫{0,x^2}dz∫{根号（z-x^2)，1}f(x,y,z)dy，我不理解为何中间是∫{0,x^2}dz，而不是∫{0,1}dz 麻烦了，解决后我就处理问题

Answer 1

咋都得稍微画下图，不用画立体的，画个平面的就行。比如让你先求y的你就画在xoz面上的投影。明白各面的位置关系主要。如z=x^2+y^2,y=x^2,y=1,z=0
第一个式子表示：
先看横截面，在z=a时，是个半径为根号a的圆，在xoy面上是一个个圆，
侧面看在xoz或yoz面投影，可令y=0或x=0可知是抛物面
由此可知本曲面为一个旋转抛物面，构成的是封闭区域的上表面
第二个式子：很明显是个柱面，横截面是抛物线。构成左表面，
第三个式子构成的的是右表面
第四个式子构成底面。
这样就将封闭区域弄明白了。主要是上下左右前后各个表面弄明白是由谁构成。会投影，交线不用求那么精确。如此抛物柱面与旋转抛物面的交线就很复杂但透影到xoy面上只不过是一条抛物线(包括右侧部分）。转为3次积分如下：
∫{-1，1}dx∫{x^2，1}dy∫{0，x^2+y^2}f(x,y,z)dz

∫{0，1}dx∫{0，1}dy∫{0，x^2+y^2}f(x,y,z)dz
可知上表面是z=x^2+y^2,下表面是z=0
在xoy面投影为正方形
因此此封闭区域的上表面和左表面为z=x^2+y^2其余都是平面
现在做交换积分次序，先积y，那么就做垂直xoz的“穿入穿出”直线，穿入面为y=根号（z-x^2)，穿出面为y=1，所以从根号（z-x^2)积到1
然后画xoz面上投影，同样做“穿入穿出”直线确定积分区域，结果为

∫{0，1}dx∫{0,x^2}dz∫{根号（z-x^2)，1}f(x,y,z)dy

谢谢，那我再补充点，现在一般非数学专业的三重积分，积分区域不会太复杂，多为柱体。那么先需要确定的就是侧面和顶面底面（大多母线与z轴平行，也就是要求你先对z积分，从下表面积到上表面）。
柱侧面方程比较好认，缺少某字母的都是柱面方程。如题中的y=x^2就少了z，就是于z轴平行的抛物柱面。先确定比较简单的曲面，再来看复杂的面，看他是构成了哪个面，一般缺哪个面就是补哪面。
如果还有什么不清楚，举些例子我再给你讲

上面说的也不太准，第一式构成了上表面和部分左表面，第二式是，前后面和部分坐面。
你可以这么看，先不看最复杂的第一式，其他几个组合可以很清楚知道围成了个不带盖的桶（在平面直角坐标系xoy上画：左前后为y=x^2，右为y=1，下为z=0）然后再加入第一式封顶，由于一二两式交线复杂，不用理会，因为你先对z积分，从0到x^2+y^2，然后看xoy面投影即可，只与柱侧面有关，与上下底无关。

你先对y积分，你画出在xoz投影，z=x^2+y^2的投影令y=0，投影为z=x^2，你作穿入穿出线，不是从z=0穿入从z=x^2穿出的吗？所以是从0到x^2。然后对x积分在x轴投影，从0，1

Answer 2

第一个怎么地也得画个图
在xy上的投影是y=x^2
因为y范围是（0，1）
所以x的范围（-1，1）
所以y的范围（x^2，1）
z的范围（0，x^2+y^2）

第二个
x的范围是（0，1）
看图像在xz上的投影为z=x^2
所以z的范围是（x^2，1）
根据边界z=x^2+y^2
y的范围（0，根号（z-x^2））
∫{0，1}dx∫{0,x^2}dz∫{根号（z-x^2)，1}f(x,y,z)dy

空间图形一般在做题中的都比较好画，很不好画的至少投影都能画出来，关键是画好投影，看平面投影写范围

汗呀，好久不做，错了好多，险些给楼主带来损失

在xz平面上的投影是由x=1和z=x^2围成的图形，而不是x=1和z=1围成的，所以z的范围是从0到x^2,所以是∫{0,x^2}dz.
如果还有问题可以直接给我发消息

Answer 3

Z=0,好像不能围成闭区域

Answer 4

如果不画图 只有凭大脑想了 z=0说明积分区域是在XY坐标平面上 y=1而y=x^2说明y在(0,1)中 而y=x^2说明x也在(0,1)中 曲面z=x^2+y^2投影到xz和zy两个坐标面上 值域依然在(0,1)中 研究积分范围是在分析积分区域的基础上进行的 抛开图形的层叠只进行数理运算运算出积分区域 这种方法至少我还没有听说过

∫{0，1}dx∫{0，1}dy∫{0，x^2+y^2}f(x,y,z)dz就是这样一个抛物面在一个边长为1的小正方体里的那一部分 从积分表达式中可以知道积分变量的取值范围 x(0,1) y(0,1) z(0,x^2+y^2) 不难知道z的最大值也是1 所以积分可以写成∫{0，1}dy∫{0，1}dz∫{0，a}f(x,y,z)dx 至于a是f对于x变量的上限 z=x^2+y^2自然得到x=根号(z-y^2)

所以 原积分交换积分次序后可以写成∫{0，1}dy∫{0，1}dz∫{0，根号(z-y^2)}f(x,y,z)dx 顺便纠正你个错误 分离积分变量后的积分 最后一个不能在写dv了 只能写分离出来的某一个单独变量

区域在xoy面上的投影是半径为1的圆 你想啊 在xoz轴上是z=x^2 x属于(0,1)的抛物线 当然z也在(0,1)内 在yoz轴上是z=y^2 y属于(0,1)的抛物线 所以构成一抛物面 此抛物面与z=1的交线是半径为1的圆周x^2+y^2=1 那么投影到xoy轴上就是半径为1的圆的圆面（包括圆内的部分）了 还用不懂的欢迎交流 QQ 284503688