Question

抽象代数的说，高手请进

1. F是一个域，f属于F[x] 是不可约分（irrducible) 而且最高次系数是一（monic），Let a，b 是f在F一些的夸张域K的根. (Let a,b be roots of f in some extension field K of F)
1,证明f=Irr（a，F，x）=Irr（b，F，x）

2.证明 a是f的重复根iff b也是f的重复根

2.如果K是F的可分离扩张域K is separable over F， L是一个域 F<L<K
证明K 是L的可分离扩展欲K is separable over L
证明L is separable over F,
总结证明 任意域 L1,L2 F<L1<L2<K,L2 is separable over L1.

Answer 1

1. 通常的翻译是这样的:
F是一个域, f是F[x]中的首一的不可约多项式, 设a, b是f在F的某个扩域K中的根.
求证: (1) f = Irr(a,F,x) = Irr(b,F,x).
(2) 若a是f的重根, 则b也是f的重根(原题似乎是当且仅当, 但由b是重根证明a是重根是一样的).

证明: (1) 由定义14.5, Irr(a,F,x)是唯一的(命题14.4)以a为根的首一的F-不可约多项式.
而f就是这样的多项式, 由唯一性即有f = Irr(a,F,x).
同理f = Irr(b,F,x), 故f = Irr(a,F,x) = f = Irr(a,F,x).
(2) 根据命题15.13(ii), 由f不可约并有重根a, 有f'是零多项式.
于是f'(b) = 0, 又f(b) = 0, 根据命题15.13(i), 可知b也是f(x)的重根.

2. 一般翻译为:
若K是F的可分扩张, L是K/F的一个中间域. 求证: (1) K/L是可分扩张. (2)L/F是可分扩张.
(3)对任意满足F ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ K的域L1, L2, 有L2/L1可分.

证明: (1) 对任意a ∈ K, 考虑f = Irr(a,F,x). 由F ⊆ L, 有f = Irr(a,F,x) ∈ F[x] ⊆ L[x].
另一方面g = Irr(a,L,x) ∈ L[x], 且由命题14.4, (g)是L[x]在"在a取值"这个映射下的核(kernel).
于是由f(a) = 0, 有f ∈ (g), 即存在h ∈ L[x]使f = gh, 也即g是f的因式.
因为K/F可分, 所以f = Irr(a,F,x)没有重根(定义15.15).
于是作为f的因式, g = Irr(a,L,x)也没有重根.
由定义15.15得K/L可分.
(2) 由L ⊆ K, 对任意a∈L, 有a∈K.
因为K/F可分, 所以Irr(a,F,x)没有重根(定义15.15).
仍由定义15.15得L/F可分.
(3) 由(2), L2作为K/F的中间域有L2/F可分.
再由(1), L1作为L2/F的中间域即有L2/L1可分.