Question

已知函数f(x)＝-1/3x∧3+x∧2+ax (a∈R) (1)若a＝3，试确定函数f(x)的单调

已知函数f(x)＝-1/3x∧3+x∧2+ax (a∈R)
(1)若a＝3，试确定函数f(x)的单调区间
(2)若函数f(x)在其图像上任意一点[xo，f(xo)]处切线的斜率都小于2a∧2，求实数a的取值范围
(3)若存在x∈[0，2]，f(x)＜0，求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)＝-1/3x∧3+x∧2+ax (a∈R)
（1）
a=3时，f(x)=-1/3x³+x²+3x
f'(x)=-x²+2x+3=-(x+1)(x-3)
f'(x)>0解得-1<x<3
f'(x)<0解得x<-1或x>3
∴f(x)的单调递增区间为(-1,3)
递减区间为(-∞,-1),(3,+∞)
(2)
函数f(x)在其图像上任意一点[xo，f(xo)]处切线的斜率都小于2a∧2
即f'(x)=-x²+2x+a<2a²恒成立
即2a²-a>-x²+2x恒成立
∵-x²+2x=-(x-1)²+1，
当x=1时，-x²+2x取得最大值1
∴2a²-a>1
即2a²-a-1>0
解得a<-1/2或a>1
∴实数a的取值范围(-∞,-1/2)U(1,+∞)

(3)
存在x∈[0，2]，f(x)＜0，.
即-1/3x³+x²+ax<0
即ax<1/3x³-x²成立
x=0时，不等式不成立
需存在 x∈(0,2]，
a<1/3x²-x成立
g(x)=1/3x²-x=1/3(x²-3x+9/4)-3/4
=1/3(x-3/2)²-3/4
∵0<x≤2
∴ -3/4≤g(x)<0
∴a<0

Answer 2

(1)F'(x)=-x^2+2X+3=-(x-3)(x+1);故f(x)在X>3时，单调递减；在X<-1时，单调递减；在-1<X<3时，单调递增。(2)-X0^2+2X0+a<2a^2;-(X-1)^2+1<2a^2-a;2a^2-a>1;(a-1)(2a+1)>0;a>1或a<-0.5
(3)求导，分情况讨论x∈[0，2]，f(x)＜0时a取值范围即可。。

Answer 3

（1）。(-∞，-1），（3，+∞）
（2）。（-∞，-1/2）∪（1，+∞）
（3）。a＜0