Question

已知直线y=2x+4与x轴y轴分别交于AD两点抛物线y=-1/2x^2+bx+c经过点A,D，点B是抛物线与x轴的另一个交点：

（1）设点M是直线A,D上一点，且三角形AOM：三角形OMD=1:3，求点M的坐标
（2）如果点C（2，y）在这条抛物线，在y轴的正半轴上是否存在着点P，使三角形BCP为等腰三角形，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）因为点M是直线A,D上一点，且三角形AOM：三角形OMD=1:3，两个三角形等高，所以DM:AM=3:1，做条M到y轴的辅助线交y轴于点F，则DF:OF=DM:AM=3:1,又因为D为（0，4），所以OF＝1，同理M交x轴于E，OE＝3/2.点M为（-3/2，1）
（2）因为
直线y=2x+4与x轴y轴分别交于AD两点抛物线y=-1/2x^2+bx+c经过点A,D
而A为（－2，0），D为（0，4），带入抛物线得，c=4,b=1;
则对称轴x=-b/(2a)=1;B点坐标为（4，0），C点坐标为（2，4），
若BC为底边，则中垂线经过中点（3，2），且斜率为-1/（Kab）=1/2,即y=1/2x+1/2,交y轴于点P（0，1/2）
若以BC为边，则BC^2=PC^2或CP^2=BP^2，得到P为（0，1）或（0，2）或（0，6）

追问

好像M点的坐标不只一个吧

追答

sorry，M点考虑的不够仔细，不过你知道了那就行，谢谢及时指出我的错误