Question

已知二次函数y=mx²+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）

（2012•肇庆）已知二次函数y=mx²+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO-tan∠CBO=1
（1）求证：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

Answer 1

（1）将2
代入顶点横坐标得：22 m n （1分） ∴04mn （2分） （2） ∵已知二次函数图象与x轴交于A（1x，0）、B（2x，0），且由（1）知mn4
∴4421 mmmnxx
，m p xx21 （3分） ∵ 1x﹤0﹤2x， ∴在Rt△ACO中，tan∠CAO
= 1 xOC OAOC 在Rt△CBO中，tan∠CBO
= 2 xOC OBOC ∵1tantanCBOCAO ，
∴ 1xOC
12 xOC （4分）
A B C E D P O 图7 
数学试卷 第9 页（共4页） ∵ 1x﹤0﹤2x
，∴0pOC
∴ pOCxx111121
即p xxxx1 2121
∴ pm p1 4
∴pmp4 （5分） ①当0p
时，4 1 m，此时，1n （6分） ②当0p
时，4 1  m， 此时，1n （7分） （3）当0p
时，二次函数的表达式为：pxxy2 4 1 ∵二次函数图象与直线3xy仅有一个交点
∴方程组  34 12xyp xxy仅有一个解
∴一元二次方程pxxx 2413
即034 1 2px有两个相等根 （8分）
∴0)3()4 1(402 p 解得：3p （9分）
此时二次函数的表达式为：3412xx
y4)2(4 1 2x
∵04 1  a，∴y有最大值4

Answer 2