Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,M是腰AB的中点，且AD+BC=DC.求证:MD⊥MC.

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Answer 1

证明：取腰DC的中点为N,连接MN,
因为M是AB的中点，所以MN是梯形的中位线，则AD+BC=2MN
又因为AD+BC=DC，所以2MN=DC,即MN=DN=CN,
所以角DMC=90度，所以MD垂直MC

Answer 2

证明：延长DM，CB交于点E．（如图）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM，
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM．
在△ADM与△BEM中，
∠ADM=∠BEM，
∠AMD=∠BME，
AM=BM，
∴△ADM≌△BEM，
∴AD=BE=2，DM=EM，
∴CE=CB+BE=8+2=10，
∵CD=10，
∴CE=CD，
∵DM=EM，
∴CM⊥DM．