Question

求大神帮忙解决微积分中值定理的证明题

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有二阶连续导数，试证明：至少存在一个ξ∈(a,b)使f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)=(b-a)²÷4×f''(ξ) 拜托详细点，无限感谢

Answer 1

泰勒公式:
f(x)=f(x0)+(x-x0)f'(x0)+1/2(x-x0)f''(c)

令x=a x0=(b+a)/2
得：f(a)=f((a+b)/2)+(a-b)/2f'((a+b)/2)+(a-b)^2/8f''(c1)
令x=b x0=(b+a)/2
得：f(b)=f((a+b)/2)+(b-a)/2f'((a+b)/2)+(b-a)^2/8f''(c2)

以上两式子相加可以不：
f(a)+f(b)=2f((a+b)/2)+(a-b)^2/4((f''(c1)+f''(c2))/2)
由戒指定理可知：至少存在一个ξ∈(c1, c2)∈(a,b)使：
(f''(c1)+f''(c2))/2 = f''(ξ)
带入上市：
f(a)+f(b)-2f((a+b)/2)=(b-a)^2/4f''(ξ)
急症：
至少存在一个ξ∈(a,b)使f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)=(b-a)²÷4×f''(ξ)

Answer 2

作辅助函数g(x)=x^2*f(x),g(0)=0,有积分中值定理可以得到f(c)=0,c属于（0,1），所以g（c）=0,然后用罗尔定理就可以了，g'(a)=0,也就是a^2*f'(a)+2*a*f(a)=0,两边除以a就可以了！