Question

不等式x^2+ax+4≥0对一切X∈(0,3]恒成立 求a的范围

不等式x^2-ax+4≥0对一切X∈(0,3]恒成立 求a的范围

Answer 1

好久不做这种题，有些术语用不好了都，其实是很简单的题，电脑上打不方便看着不容易看耐心点。这是一道基本的分段讨论题，要保证X∈(0,3]恒成立，其实就是保证在X∈(0,3]区间内左边（可设y=x^2-ax+4）最小值>=0恒成立。有题可知大致抛物线图形开口向上，对称轴是2分之a，当对称轴小于等于0时，x>0这段抛物线是向上的、递增的，而当x=0时左边4>=0，所以当a<=0时是满足的。当a>0时，1.当0<a/2<3时(即对称轴在0-3之间，因为开口向上所以此时左边取最小值的时候便是x等于对称轴a/2，要保证最小值>=0)将x=a/2代入左边，解得-4=<a<=4,大前提a>0,所以0<a<=4 2.当a/2>=3时（a>=6）(此时抛物线在0-3之间是递减的，x=3时左边值最小) 取x=3代入，解得9-3a+4>=0,所以a<=13/3,又因为a>=6,所以舍去。综上，a<=4。
当然本题中X∈(0,3]，x可以直接除而不影响不等式的符号变化（如果不确定x>0则不可以直接除x）也就可以求得a<=(x^2+4)/x,也就是a<=x+4/x，而不等式的右边这又是一对勾函数，不知道你们学过没有，图形我电脑给你画不出来，在x>0上最小值是当x=2时，所以a<=4.

Answer 2

把式子化为a>=(-x^2-4)/x^2,然后对右边函数求导算最大值，a大于最大值就是范围了。