Question

一道初三数学压轴题

如图,OA,OB的长分别是关于x的方程x^2-12x+32=0的两根，且OA>OB，解答下列问题：
（1）求直线AB的解析式；
（2）沿经过O的某直线折叠，使B落在线段AB上的点P处，求直线OP解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得点A、O、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，直接写出点Q坐标

Answer 1

解：（1）∵x2-12x+32=0， ∴（x-4）（x-8）=0， 解得：x1=4，x2=8． ∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根，且OA＞OB， ∴OA=8，OB=4． ∴A（-8，0），B（0，4）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则 -8k+b=0b=4 ， 解得： k= 12b=4 ， ∴直线AB的解析式为：y= 12 x+4； （2） 过点P作PH⊥x轴于点H． 设P（x，y）， ∴AH=|-8-x|=x+8． ∵PH∥y轴， ∴APPB= 13， ∴AHHO= 13， 即x+8-x= 13． 解得 x=-6． ∵点P在y=12x+4上， ∴y=12×（-6）+4=1． ∴P（-6，1）． 设过点P的反比例函数的解析式为：y=kx，则1=k-6． ∴k=-6． ∴点P的反比例函数的解析式为：y=-6x（x＜0）． （3）存在． 如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H， ∵梯形OAPQ是等腰梯形， ∴AH=OG=8-6=2，QG=PH=1， ∴点Q的坐标为（-2，1）； 如图②，若AQ∥PO， ∵OP的解析式为：y=-16x， 设直线AQ的解析式为：y=-16x+m， ∵A（-8，0）， ∴-16×（-8）+m=0， 解得：m=-43， ∴直线AQ的解析式为：y=-16x-43， 设点Q的坐标为：（x，-16x-43）， ∵梯形APOQ是等腰梯形， ∴PA=OQ， ∴x2+（-16x-43）2=[-8-（-6）]2+12， 整理得：37x2+16x-116=0， 即（37x-58）（x+2）=0， 解得：x=5837或x=-2（舍去），∴y=-16×5837-43=-5937， ∴点Q的坐标为：（5837，-5937）； 如图③，若AP∥OQ， ∵直线AP的解析式为：y=12x+4， ∴直线OQ的解析式为：y=12x， 设点Q的坐标为（x，12x）， ∵AQ=OP， ∴（x+8）2+（12x）2=12+（-6）2， 整理得：5x2+64x+108=0， 即：（5x+54）（x+2）=0， 解得：x=-545或x=-2（舍去）， ∴y=12×（-545）=-275， ∴点Q的坐标为（-545，-275）． 综上，点Q的坐标为（-2，1）或（5837，-5937）或 （-545，-275）．