Question

！！高中数学

已知点F(1,0)，直线l:x=-1，点P在直线l上运动，PQ⊥l，线段PF与y轴的焦点为R，且向量RQ·向量FP=0
1.求动点Q的轨迹C的方程
2.直线l与x轴交于点M，过F的直线l1交轨迹C于AB两点，试探究点M与以AB为直径的圆的位置关系，并加以说明

Answer 1

设点P为(-1，t)，

根据P、F两点坐标确定FP直线方程为：y=-t/2*x+t/2，

则R点坐标为(0,t/2)。

 

∵向量RQ*向量FP=0，则有RQ⊥FP。

∴RQ直线方程为：y=2/t*x+t/2。

与PQ直线方程y=t联立，

∴Q点坐标为：(t²/4,t)。

∴Q点满足方程：y²=4x，此为抛物线方程。

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第2题

过F点的直线方程为：y=kx-k。

与抛物线C的方程x=y²/4联立，化简为：

 

k²x²-(2k²+4)x+k²=0  (方程一)

或 ky²-4y-4k=0  (方程二)

 

方程一的两个解x1、x2即为两交点A、B的横坐标，方程二的两个解y1、y2即为A、B两点的纵坐标。(由于计算复杂，准备换条路子，不直接计算A、B两点的坐标)

 

根据韦达定理，可知：x1+x2=-b/a=(2k²+4)/k²=2+4/k²，x1*x2=c/a=1，y1+y2=4/k，y1*y2=-4

 

补上后面的解题过程：

Answer 2

1：y=4x^2
2:当x=AB与x轴垂直时点在圆上，其余情况点在圆外
第一问很简单，就不用说了

第2问：点与圆的位置关系有三种，由点M与圆心O的距离h与圆半径r的大小决定
设直线ABF斜率为k，那么其方程为y=kx-k
设圆心O坐标为（xo,yo）,设AB点坐标分别为（x1,y1）和(x2,y2)
那么xo是AB中点，所以xo=(x1+x2)/2
h是点M与圆心O的距离：h=MO=√（xo+1）^2+yo^2

圆半径r=(AF+BF)/2
F是抛物线焦点，MP是抛物线准线。根据抛物线的性质，A、B点到F的距离AF和BF分别等于A、B点到准线MP的距离：
AF=X1+1 BF=X2+1
因此r=(X1+X2)/2+1 =xo+1
h^2-r^2=y0^2>=0

说明h是大于等于r的，那么M点要么在圆外，要么在圆上

Answer 3