Question

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=(四分之根号三)乘AB的平方
其中正确的结论有（　　）
图：http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/b562f4e1-e3d5-4f76-af6a-13385555f581

Answer 1

解：正确的结论有（①②④）
∵在菱形ABCD中，∠A＝60o，∴∠BCD＝60o，∠ADC＝120o，AB=AD。
∴△ABD是等边三角形。
又 E是AB的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝30o。∴∠CDG＝90o。同理，∠CBG＝90o。
在四边形BCDG中，∠CDG＋∠CBG＋∠BCD＋∠BGD=3600，∴∠BGD＝120o。
故结论①正确。
由HL可得△BCG≌△DCG，∴∠BCG＝∠DCG＝30o。∴BG=DG= CG。
∴BG＋DG＝CG。
故结论②正确。
在△BDG中，BG＋DG＞BD，即CG＞BD，∴△BDF≌△CGB不成立。
故结论③不正确。
延长FB到G'，取BG'=DG，连接CG'，
易证出 △CDG≌△CBG'（SAS）
∴∠DCG=∠BCG'，CG=CG'
∠DCB=∠GCB+∠BCG'=60°，
∴△CGG'为等边三角形
S四边形BCDG=S△CGG'=1/2×根3/2CG×CG=根3/4CG2．
故结论④正确
∴正确的结论有（①②④）