Question

已知函数fx=1/3x^3-bx^2+2x+a，x=2是fx的一个极值点。(1)求函数fx的单调区间(2)若当x属于[1，正无穷大)...

已知函数fx=1/3x^3-bx^2+2x+a，x=2是fx的一个极值点。(1)求函数fx的单调区间(2)若当x属于[1，正无穷大)时，fx-2/3大于a^2恒成立，求a的取值范围

Answer 1

（1）fx=1/3x^3-bx^2+2x+a
求导后得到f‘（x）=x^2-2bx+2
而x=2是一个极值点
故f’（2）=0
得到b=1.5
所以f（x）=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
令f‘（x）>0 得到x>2或x<1
令f’（x）<0 1<x<2
所以f（x）在（1,2）上单调递减，在（2，+∞）（-∞，1）上单调递增
（2）fx=1/3x^3-bx^2+2x+a=fx=1/3x^3-1.5x^2+2x+a
所以1/3x^3-1.5x^2+2x+a-2/3>a^2在[1,+∞)恒成立
令而f（x）在（1,2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增
所以f（x）有最小值f（2）=8/3-6+4+a
所以8/3-6+4+a-2/3>a^2
得到0<a<1